谈含参一元二次不等式解题策略

来源：职称驿站所属分类：中学教育论文发布时间：2011-04-29 15:53:22浏览：次

　　解含参数的一元二次不等式问题，需要综合运用数学多种基本技能和基本技巧，如不等式的性质、解法，合情推理论证的能力，以及数形结合、分类讨论的数学数学方法等等，能够反映学生综合的数学素质，也符合新课程对数学教学和学生能力的要求，同时这类问题往往综合性强，因而也是数学教学中的一个难点。由于解含参数的一元二次不等式的主要目的是求未知数的解集，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，先确定不等式的类型，再按相应类型不等式的解题方法进行转化，但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则需要进行讨论。
　　对于解含参数的一元二次不等式，通常情况下，我们采取分类讨论的策略，讨论的关键是要弄清为何讨论、如何讨论。在解决这类问题时，应正确认识问题中的参数，从而形成解决参数问题的正确思维习惯与解题思想。
　　我们不妨以ax2+bx+c>0为例，它常与以下因素有关（1）a；（2）Δ；（3）两根x1,x2的大小。其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序。下面举例说明：
　　例1：解不等式-x2+ax-4<0
　　分析：本题中由于x2的系数小于0,故先要转化为大于0，再考虑后两个因素。
　　解：原不等式可转化为x2-ax+4>0
　　∵Δ＝a2-16
　　∴当-4<a<4时，Δ<0，解集为R；
　　当时，Δ＝0，解集为；
　　当a>4或a<-4时,Δ>0,此时两根分别为
　　，，显然x1>x2,
　　∴不等式的解集为
　　综上所述，当-4<a<4时，解集为R；当时，解集为；当a>4或a<-4时,解集为
　　
　　
　　例2：解不等式
　　分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。又二次项系数大于0,所以本题只需讨论两根的大小即可。
　　解：原不等式可化为：，令，可得：
　　∴当a<-1或0<a<1时，，故原不等式的解集为；
　　当a=1或a=-1时，,可得其解集为φ；
　　当-1<a<o或a>1时,,解集为。
　　综上所述，当a<-1或0<a<1时，解集为；当a=1或a=-1时，解集为φ；当-1<a<o或a>1时,解集为。
　　例3：解关于x的不等式：[(m+3)x-1](x+1)>0(m∈R)
　　分析：本题对解集的影响因素较多，故要特别小心。首先要讨论不等式的类型，取决于m+3是否为零。
　　解：（一）当m+3=0时，不等式为一次不等式，原不等式可化为x+1<0，原不等式的解集为：{x|x<-1}
　　（二）当m+3≠0时，不等式为二次不等式，需将不等式化为(x-x1)(x-x2)>0(或<0)的形式，两边同除以m+3，因其符号不确定使同解变形的结果不确定，所以应考虑m+3的符号。
　　（1）当m+3>0时，即m>-3原不等式可化为，
　　∵
　　∴不等式的解集为：{x|x<-1或x>}
　　（2）当m+3<0时，即m<-3原不等式可化为，
　　此时相应一元二次方程的两根与-1大小不确定，从而影响到解的结构，作差比较这两个数的
　　
　　继续对m分类讨论：
　　（i）当-4<m<-3时，，原不等式的解集为{x|}
　　（ii）当m=-4时，，原不等式解集为Ф；
　　（iii）当m<-4时，，原不等式的解集为：{x|}
　　综上：当m<-4时，原不等式的解集为：{x|}；
　　当m=-4时，原不等式解集为Ф；
　　当-4<m<-3时，原不等式的解集为{x|}；
　　当m+3=0时，原不等式的解集为：{x|x<-1}；
　　当m>-3时，原不等式的解集为：{x|x<-1或x>}。
　　由此可见，我们应注意以下几点：
　　（1）对一般的含参数的不等式在求解之前，必须对这个字母的可能取值如何进行分类讨论作必要的分析、准备，着重注意以下几个环节：①何时讨论②讨论什么③怎么讨论
　　（2）对分类讨论这种方法认识清楚了，才能在给定不等式的等价变换过程中适时、适当地使用，才能准确有效地解决更为复杂的含有字母系数的不等式或不等式组。
　　（3）在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况。
　　总之，解含参数的一元二次不等式，要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题的技能技巧，恰当地进行分类讨论，才能使我们收到变难为易，化繁为简，左右逢源，相得益彰的效果。